Ugrás a tartalomhoz Lépj a menübe
 


A végtelenül kicsi problémái és a kontinuum-hipotézis

2009.10.06

Fejtegetésemet Zenon paradoxonainak feloldásával szeretném kezdeni, amelyek a mozgás létezésének képtelenségét próbálják bizonyítani. Ezek lényegében érvek annak bizonyítására, hogy a mozgás létezése képtelenség. A paradoxonokat már sokan, és sokféleképpen próbálták feloldani. Először is magukat a paradoxonokat szeretném ismertetni.

 

„Nem lehetséges mozgás, hiszen a mozgó testnek először a megteendő út feléig kell eljutnia, de előbb annak a feléig és annak a feléig így tovább egészen a végtelenségig. A mozgónak végtelenül sok pontot kellene érintenie (1/2 1/4 1/8….), véges idő alatt, ami lehetetlen. Vagyis nem létezik mozgás!

 

Akhilleusz és a teknős:

 

„Ez abban áll, hogy a leggyorsabb futó soha nem fogja utolérni a leglassúbbat, mert az üldözőnek előbb el kell jutnia oda, ahonnan az üldözött elindult, így a lassúbbnak szükségképpen mindig lesz valamekkora előnye.”19 Ez az előny a mindig kisebb, de végtelen időre lenne szükség, hogy eltűnjön, hiszen a stadionhoz hasonlóan itt is végtelen pontot véges idő alatt kellene megtenni, ami ellent mond a józan észnek, tehát nem lehetséges mozgás.

 

Repülő nyíl:

 

A repülő nyíl a pályája során pontosan ott van, ahol tartózkodik (azonos saját méretével, van egy adott hossza). De ha pontosan ott van, akkor nyugalomban van, hiszen a két végpontja között tartózkodik. Nem mozoghat valami és lehet nyugalomban egyszerre, ez ellentmondás. Márpedig a repülő nyíl a mozgása során pontosan a két végpontja között van, tehát nyugalomban van. Nem létezik mozgás.

 

Stadion:

 

Ha a stadionban mondjuk AAAA egységek állnak, és hozzájuk képest a BBBB egységek balról, míg a CCCC egységek jobbról közelednek azonos sebességgel (1.ábra) úgy, hogy mikor az első B találkozik az első C-vel, akkor az említett B a második A-nál van, míg a C a harmadiknál, A-nál(2. ábra). A következő pillanatban egymást pontosan fedik (3.ábra). Ekkor az első C elhalad az összes B mellett, de az első B csak a fele A mellett. Az azonos gyorsasággal mozgó testek ugyanannyi idő alatt nem azonos utat tesznek meg, ez ellentmondás. A mozgás negyedszer is adabszurdnak, értelmetlennek adódik.”

 

Ebben az írásomban csak az első három mozgás létezése ellen felhozott érvvel szeretnék foglalkozni. A első két érv esetében a probléma gyökere véleményem szerint abban rejlik, hogy Zenon a pontot a tér egyik alkotóelemeként fogja fel. Mi a pont valójában? Ezt a fogalmat egyrészt helymeghatározásra szokták használni. Mint például, hogy ez az objektum ebben a pontban, a tér ezen a pontján van, másrészt a nulldimenziós tér szinonímájaként.

 

A nulldimenziós tér a térnek azt a formáját jelenti, amelynek semmilyen kiterjedése nincsen. Ha semmilyen kiterjedése nincsen, az azt jelenti, hogy mérete sincsen. Ez pedig a felvázolt problémák első két változatának esetében véleményem szerint egy újabb paradoxont is felvet, ami egyértelműen rámutat, hogy a pontot a tér alkotóelemeként értelmezni teljes képtelenség.

 

Zenonnak a mozgás létezése ellen felhozott első érve azon a matematikai elven alapszik, hogy a tér, vagy annak egy egysége, mint például az egyenes, végtelen sok kisebb részre felosztható. Ha viszont végtelen sok részre felosztjuk az eredmény 0 lesz, vagyis az egyenes nem fog létezni többé. Hiszen 1/∞ = 0, ahogy 2/∞ is egyenlő nullával és így tovább. Ez híven tükrözi azt a tényt, hogy mivel a pont a nulldimenziós tér megfelelője, kiterjedése nem lehet, ebből kifolyólag pedig mérete sem lehet.

 

Zenonnak a mozgás ellen felhozott első érve tehát úgy szól a tárgynak végtelen sok ponton kell keresztül mennie ahhoz, hogy egyik helyről a másikba érjen, így a mozgás minden esetben végtelen ideig tartana. Ha viszont a pontoknak nincs kiterjedésük, ebből kifolyólag méretük sem, viszont valóban a tér alkotóelemeiként léteznek, akkor mivel a pont mérete 0, a ponton való keresztülhaladás alatt mérhető időnek is nullának kell lennie. Mivel pedig, ahogyan Zenon is leírta a tárgynak minden esetben végtelen sok ponton kell áthaladnia, hogy céljához érjen, de ∞ * 0 = 0, így újabb paradoxonhoz jutottunk, ami éppen Zenon felvetett problémájának az ellentétje. Itt az a paradoxon, hogy egész egyszerűen nem szabadna léteznie időnek. Minden tárgynak, amikor mozgást hajt végre 0 idő alatt kellene egyik helyről a másikra érnie. A mozgásnak tehát Zenon gondolatmenetével ellentétben nem végtelen idejűnek kellene lennie, hanem 0 idejűnek.

 

Ez is bizonyítja, hogy a pont nem lehet a tér alkotóeleme, mert a pont, mint a nulldimenziós tér megfelelője, nem a tér alkotóeleme, hanem annak ellentettje. Ezt jól bizonyítja az emberi nyelvnek a sajátos jellege, ahogy a pontot, mint fogalmat használja. Már említettem, hogy a pontot, mint fogalmat két formában szoktuk használni, egyrészt a nulldimenziós tér megfelelőjeként, másrészt pedig egy térbeli hely megjelölésére. Érdekes, hogy amikor azt mondjuk, hogy valami a térnek ezen a pontján van, akkor mindig valamilyen kiterjedéssel bíró tárgyra gondolunk. Soha nem mondjuk, hogy ezen a ponton van egy pont, vagy hogy erre a pontra helyeztem egy pontot. Még akkor sem mondjuk ezt, amikor tollal megjelölünk, a térképen egy pontot. Akkor is inkább azt mondjuk, hogy megjelöltem ezt a pontot a térképen, hiszen a tollal rajzolt pontnak, az igazi ponttal ellentétben, ami a nulldimenziós tér megfelelője, van kiterjedése.

 

Ez arra utal, hogy a tér csak kiterjedésként értelmezhető, ami nem bír kiterjedéssel, az nem a tér eleme, hanem a tér ellentéte. Ha pedig nyelvünk használata erre utal, az mond valamit, hiszen nyelvünk használata visszatükrözi gondolkodási sémáinkat, gondolkodási sémáink pedig valamennyire a valóságot. Tehát Zenon első két problémájának hátterében az a tény áll, hogy a pont nem lehet a tér alkotóeleme. Véleményem szerint a harmadik érv is hasonló módon magyarázható, bár ezt nehezebb e magyarázattal szemléletesen levezetni. Ott az érv lényege az, hogy a tárgy nem lehet mozgó, és mozdulatlan egyszerre. A magyarázat véleményem szerint itt is valamiképp az lehet, hogy a mozdulatlanság nem lehet a mozgás alkotóeleme, mert a mozgás csak egységes folyamatként értelmezhető. Ha nem lehet az alkotóeleme, akkor pedig kizárt, hogy a tárgy egyszerre mozgó legyen és mozdulatlan.

 

Végezetül pedig szeretnék néhány szót szólni a nulldimenziós térnél, vagyis a pontnál magasabb dimenziószámú terekről. Manapság a tudományos életben sokat foglalkoznak a negyedik térdimenzió létezésének lehetőségével. Ez azért érdekes, mert én vitathatónak látom azt a gondolatot, hogy létezhetnek a térdimenziók egymástól függetlenül. Ha ugyanis a nulldimenziós térnek nincs kiterjedése, és ebből kifolyólag mérete sem, az azt jelenti, hogy tulajdonképpen nem is létezik, és csak egy a helymegjelölésre alkalmas absztrakt fogalomként értelmezhető. Az egydimenziós térnek a kétdimenziós tér irányába nincs kiterjedése, ami azt jelenti, hogy mérete sem, ami pedig tovább gondolva azt jelenti, hogy az egydimenziós tér a kétdimenziós térhez viszonyítva egyszerűen nem létezik. Ugyanez a helyzet a kétdimenziós és a háromdimenziós tér viszonyában is.

 

Ezt tehát azt jelenti, hogy a kétdimenziós, és az egydimenziós terek bizonyos aspektusaikban egyszerűen nem léteznek. A filozófiában pedig bevett tétel, hogy egy létezőnek, ahhoz hogy rámondhassuk, hogy az, ami minden tulajdonságával bírnia kell annak a létezőnek, aminek a nevét rámondjuk. Ahhoz tehát, hogy egy asztalra rámondhassuk, hogy asztal, ahhoz annak az asztalnak az asztal minden tulajdonságával bírnia kell. Ebből levezetve pedig, hogy egy létezőre rámondhassuk, hogy valóban létező, vagyis hogy valóban létezik, ahhoz a létező minden tulajdonságával bírnia kell. A kétdimenziós, és az egydimenziós térről viszont az imént bebizonyítottuk, hogy bizonyos aspektusaikban egyszerűen nem léteznek. Tehát ez azt jelenti, hogy térdimenziók egymástól függetlenül nem létezhetnek.

 

Viszont, ha létezik negyedik térdimenzió, akkor a háromdimenziós térnek attól függetlenül kell léteznie, amire az a bizonyíték, hogy mi itt vagyunk, és létezünk. De mivel térdimenziók egymástól függetlenül nem létezhetnek, ahogy előbb levezettem, ez azt sugallja, hogy nincs negyedik dimenzió.

 

Azonban ezt a gondolatmenetet meg is lehet cáfolni, még pedig azzal, hogy a pont nem 0 méretű, hanem végtelenül kicsi. Ez érdekes gondolat, de ezt is meg lehet cáfolni. A most leírt számoknál a ... mindig az számjegyek végtelen ismétlődését jelentik. Pl. 1,999... azt jelent, hogy a 9-es végtelen sokáig folytatódik a tizede jel után.

 

Tehát akkor vegyünk egy ilyen végtelen hosszú valós számot:

 

„1,9999999...

 

Szorozzuk meg 10-zel, az eredmény:

 

19,9999999....

 

Mivel a 9-esek a végtelenbe folytatódnak ezért a 10-zel szorzás után is a végtelenbe folytatódnak.

 

Akkor ebből a számból vonjuk ki az eredeti számot.
Vagy ha úgy tetszik a szám 10-szereséből kivonjuk a szám 1-szeresét ezzel megkapjuk a 9-szeresét:

 

19,9999999.... - 1,99999999... = 18

 

A tizedes vessző utáni 9-esek mindkét számnál a végtelenbe folytatódnak, tehát egymásból kivonva őket 0 lesz a tizedes vessző után, tehát az eredmény a kivonás után 18.

 

Most ugye a 10-szeres számból vontuk ki az egyszeres számot, tehát maradt a 9-szeres számunk. Am inem más, mint a 18.

 

18/9=2

 

Most akkor mi is van?
Igen, jól látjátok az 1, 9999.... = 2
Bármennyire is két különböző számnak tűnik, ami az egyenlőségjel két oldalán látszik a kést szám matematikailag igazolva egyenlő.

 

Sőt továbbmegyek.

 

Mivel 1,999... = 2
Ha ezt a két számot kivonom egymásból akkor a józan ész szerint 0-t kéne kapnom.
Ezzel szemben az eredmény -0,00000.....1 lesz
Vagyis egy számot önmagából kivonva negatív eredményt kapok. Igaz, hogy végtelen kicsi negatív, de negatív.

 

Furcsa ugye?”

 

Ez azt sugallja, hogy nem létezik olyan, hogy végtelenül kicsi. Azonban van itt még egy probléma is. Ha egy vonalat végtelen sokáig darabolunk, akkor pont lesz belőle, vagyis: „végtelenül kicsi”. De teljesen mindegy, hogy egy húsz centiméteres, vagy egy tíz, vagy akárhány centiméteres vonalat darabolunk, azt is végtelenszer kell darabolnunk, hogy pont legyen belőle. Na de most akkor, ha pontból, vagyis végtelenül kicsikből akarunk vonalat csinálni nyilván akkor is végtelenül sokáig kell egymás mellé raknunk a pontokat, hiszen azok végtelenül kicsik, de ha ezt megtesszük, akkor hány centiméteres lesz konkrétan a vonal, 10 vagy 20? Vagy, ha 10 centiméteres vonalat darabolunk, akkor 10, ha húsz centimétereset, akkor 20? De hát a pont mérete mindenhogyan egyforma: végtelenül kicsi, és az összerakás lépéseinek száma mindenhogy végtelen marad.

 

Másképp megfogalmazva: itt éppen az a paradoxon, hogy a pontot, mint végtelenül kicsit, nem lehet lefordítani a véges méretű vonalak mérhető mennyiségeire, mégis létezik, és ha ilyen pontokból vonalat akarunk összerakni végtelen lépésben, akkor mégis valamilyen konkrét, mérhető mennyiségnek kell kijönnie, amelyek egymástól különbözőek lehetnek, annak ellenére, hogy a pontokból való összerakás lépéseinek száma mindig végtelen. Ez az én olvasatomban csak úgy lehetséges, hogy a végtelenül kicsiknek, a pontoknak, amelyeknek egyforma méretűeknek kellene lenniük, mégis különböző méretűek, vagyis végtelenül sok méretben léteznek végtelenül kicsik. Vagyis, a végtelenül kicsiket valahogy mégis le lehet fordítani a véges méretekre. Vagyis a kérdés az, hogy mi határozza meg a pontoknál azt, hogy ha azokból véges méretű vonalat akarunk összerakni, akkor azok a vonalak milyen méretűek lesznek.

 

Tehát mind a második paradoxon, amit felvetettem azt sugallja, hogy a végtelenül kicsi vagy nem létezik, vagy többfajta méretben is létezhet egyszerre. Az első paradoxon pedig inkább azt, hogy egyáltalán nem létezik, de azért ott is felvethető, egyszerre lehet 0 is, és -0,00000.....1 is. Ha pedig ez igaz, akkor lehet akár 0,00000.....111111 is, vagy még több egyest vagy más számot is hozzáadhatunk, a végtelenségig, pontosabban a végtelen közepéig, ameddig szintén végtelen út vezet. Ugye milyen furcsa, ha a végtelentől indulva elkezdjük a 0-kat behelyettesíteni 0-nál nagyobb számokkal, a számok akkor sem fogják elérni sohasem, a 0,0-át, és lényegében mindig ugyanolyan távol maradnak 0,0-tól, mint -0,00000.....1 esetében, vagyis végtelen távolra, akárcsak, ha 0,0-tól indítanánk a számok behelyettesítését a végtelen felé. Tehát ugyanúgy végtelenül kicsi marad a szám, mégis nőni fog az értéke.

 

A második paradoxon szerintem feloldható. Talán lehet, hogy két fajta végtelenül kicsi létezik. Megszámlálhatóan végtelenül kicsi, és megszámlálhatatlanul végtelenül kicsi. A megszámlálhatóan végtelenül kicsi az 1/∞. A megszámlálhatatlanul végtelenül kicsi az pedig a példában szereplő -0,00000.....1, hiszen az a legkisebb valós szám, és a valós számok halmazáról Georg Cantor megállapította, hogy megszámlálhatatlanul végtelen. Tehát a megszámlálhatatlanul végtelenül kicsinek talán éppen azért változhat a mérete, lehet egyszerre nagyobb is meg kisebb is, mert megszámlálhatatlanul kicsi, tehát ahogy a nevében is benne van, nem meghatározható egyértelműen a mérete. Ez is egy lehetőség.
Tehát a kérdés az, hogy a pontok, amelyekből a vonalak felépülnek megszámlálhatóan, vagy megszámlálhatatlanul végtelenül kicsik.

 

Ezek szerint viszont léteznek végtelenül kicsi számok is, és ez tulajdonképpen az első paradoxont is feloldja, hiszen ha a megszámlálhatatlanul végtelenül kicsi több értéket is felvehet, akkor 0-t is felvehet. A megszámlálhatatlanul végtelenül kicsi esetében, hogy ezt el tudjuk képzeni érdemes szemügyre venni a megszámlálhatatlanság jellemzőit. Egy indiai matematikus Ranganathan ezt úgy fogalmazta meg, hogy a valós számok folytonosan, kontinuusan nyúlnak végig a számvonalon, elválaszthatatlanul összefolyva egymással. Vagy más szóval: nem létezik két olyan – egymáshoz mégoly közel álló – valós szám, amely között ne volna meghatározható további végtelen számú valós szám.

 

Nehéz racionális fogalmakkal megfogalmazni, de amikor ezt halljuk, agyunkban egy olyan képzet alakul ki, mintha belenéznénk egy természetes szám belsejébe, és ott a valós számok, ahogy egyre mélyebben nézünk bele a természetes számba, folyamatosan egymás között szaporodnának. Igen, a megszámlálhatatlan végtelenség, valójában a megszámlálható végtelenség folyamatos önosztódása, ami azt jelenti, hogy a megszámlálhatatlanul végtelenül kicsi mérete a folyamatos önosztódással egyenes arányban csökken a megszámlálhatatlanul végtelenül kicsi méretétől lefelé. Ez talán így van a végtelenül kicsik összességének fizikai megnyilvánulásának esetében is. A végtelen méretű vonal valószínűleg végtelenül nagy méretű végtelenül kicsiket, vagyis meszámlálhatóan végtelenül kicsiket tartalmaz, ha pedig a vonal kissebb, akkor vele egyenes arányban a pontok mérete is kissebb, amelyek így már a megszámlálhatatlanul kicsi kategóriájába tartoznak. Ez is érdekes lehetőség, hogy talán a valós számokat nem egységes egészként kell elképzelni, hanem olyan objektumként, amely rugalmasan és folyamatosan teremtődik. A megszámlálhatatlan végtelenség talán olyan, mint a lét folyamatos betöltése, soha nem töltődhet be teljesen, ezért mindig tovább osztódik. Vagy talán egyszerre folyamatosan teremtődő, és statikusan egységes. Milyenek azok a végtelenül kicsi számok?

 

A végtelenül kicsi számokat én úgy képzelem el, mint a valós számok felét. Mintha a valós számok tizedesvessző után kezdődő részének végtelen sorát kettévágnánk, és a tizedesvessző utáni rész azon részéből, amelynél a tizedesvessző utáni rész végtelenedik pontja felől növekednek a számok, az egyesek vagy a kettesek, most teljesen mindegy, mert valós számokról van szó, kapnánk egy új végtelent számsort, amely az eredeti végtelen számsor közepéig tart, hiszen, ha tovább tartana, akkor már nem lenne végtelenül kicsi. Az eredeti végtelen számsor közepe után, pedig csak 0-ák lehetnek az eredeti számsoron 0,0-ig. A végtelenül kicsi számok tehát olyan valós számok, amelyeknél a tizedesvessző utáni számsoron a 0 feletti számok csak a végtelentől a számsor közepéig tartana, utána pedig 0 vannak 0,0-ig, és a számsor közepétől számítva mindkét irányba szintén végtelen a számsor.

 

A kérdés, hogy nem lehet e ezt kapcsolatba hozni a kontinuum-hipotézissel? Ehhez persze először is meg kell értenünk, hogy mi az a kontinuum-hipotézis. A halmazelmélet tudományának mai állása szerint két halmaz elemeinek száma egyenlő, ha elemeiket egyértelműen meg tudjuk feleltetni egymásnak. Ez a halmazelmélet szerint igaz mind a véges, mind pedig a végtelen halmazokra. Csak azt kell bizonyítani, hogy ha két végtelen halmaz elemeit egymáshoz rendeljük az egy-egy egyértelmű leképezés. Így például könnyen bebizonyítható, hogy az a leképezés, amelynek során a természetes számokat kétszeresükhöz (vagy éppen minden természetes számot a feléhez) rendelünk, egy-egy egyértelmű leképezés.

 

 

 


1 → 2
2 → 4
3 → 6
4 → 8
5 → 10
6 → 12
7 → 14
8 → 16

 

 

 


És így tovább. Eszerint tehát éppen annyi páros szám van, mint amennyi természetes szám. Vagyis a természetes számok halmaza egyenlő számosságú egyik részhalmazával. Ugyanezzel a módszerrel könnyen bebizonyítható az is, hogy a természetes számok halmaza egyenlő számosságú a racionális számok halmazával. Kiszámítható, hogy melyik természetes számnak melyik racionális szám felel meg.

 

 

 


2 → 1/1
3 → 1/2
4 → 2/1
5 → 1/3
6 → 3/1
7 → 1/4
8 → 2/3
9 → 3/2
10 → 4/1

 

 

 


És így tovább. Cantor bizonyította be a matematikatudomány mai állása szerint, hogy a valós számok nagyobb számosságúak mint a természetes számok. Ezt a következő gondalatmenettel tette meg: „Vegyük a 0 és 1 közötti valós számokat, tizedesjegyekkel kifejezve (például: 0,47 936 421…) úgy, hogy a tizedesvessző után minden számnak végtelen sok számjegye van. Ha vége van a tizedesjegyeknek, akkor nullákkal folytatjuk. Tegyük fel, hogy a valós számokat sorba lehet állítani, és így kölcsönösen egyértelműen meg lehet feleltetni a természetes számokkal. Ekkor tehát minden valós számot ebben a formában lehetne leírni.

 

 

 


0, A1 A2 A3 A4 …
0, B1 B2 B3 B4 …
0, C1 C2 C3 C4 …

 

 

 


Most próbáljunk meg új számot létrehozni Az első számjegy más lesz, mint A1, a második számjegy más lesz, mint B2, a harmadik számjegy más lesz, mint C3 és így tovább. Így egy új, 0 és 1 közötti valós számhoz jutottunk, de oly módon, hogy az különbözik a teljesnek feltételezett valós számok listájának minden egyes tagjától. Tehát ellentmondáshoz jutottunk. Mindebből az következik, hogy lehetetlen felsorolni a valós számokat. Ebből a gondolatmenetből Cantor bizonyítottnak látta, hogy a valós számok nagyobb számosságúak a természetes számoknál. Ez valóban bizonyítja, hogy van a végtelennél nagyobb végtelen, de vajon bizonyítja e azt is, hogy a valós számok nagyobb számosságúak, mint a természetes számok? Egy másik matematikus David Hilbert ugyanis a természetes számokra is bebizonyította, hogy nagyobbak önmaguknál, vagyis a végtelennél. Mégpediga a következő képpen:

 

 

 


„Egy valódi hotelben (amelynek véges sok szobája van) ha minden szobát kiadnak, akkor nem tudnak több vendéget elhelyezni, ebben nincs semmi meglepő. De képzeljünk el egy olyan szállodát, amelynek végtelen sok szobája van, azaz a szobaszámok 1-től kezdve folyamatosan növekednek, és nincs olyan szoba, amelynél ne lenne nagyobb számú. A szállodának van egy hangosbemondórendszere is, amelyen keresztül a portás az összes szobavendégnek tud üzenni egyszerre. Tegyük fel, hogy egy ilyen hotelben az összes szoba megtelt, olyan sok vendég van. A kérdés, hogy ha jön még egy vendég, el kell-e küldeni. A meglepő válasz az, hogy nem. Az új vendég elhelyezéséhez a portásnak csak annyit kell tennie, hogy bemondja: minden vendég költözzön át az eggyel nagyobb számú szobába. Az a vendég, aki eddig az 1-es szobában lakott, átköltözik a 2-esbe, amelynek eddigi lakója a 3-asba megy át, és így tovább. Így az 1-es szoba felszabadul, és az új vendég beköltözhet.”

 

 

 


Tehát ha ez a gondolatmenet csak azt bizonyítja, hogy a valós számok számossága nagyobb önmagánál, vagyis a végtelennél, akkor nem bizonyítja, hogy a valós számok nagyobb számosságúak a természetes számoknál. Ha még egyszer megnézzük Cantor bizonyítását láthatjuk, hogy ő a valós számoknak azt a tulajdonságát használta fel ennél a bizonyításnál, hogy a valós számoknak végtelen sok számjegyük van. Ennél fogva pedig persze, hogy tudunk végtelennél is több valós számot kreálni, hiszen végtelen sok számjegyet végtelennél is több módon tudunk kombinálni egymással. Pedig Hilbert gondolatmenetét olvasva nyilván a természetes számok esetében is van végtelennél nagyobb természetes szám, csak azt nem tudjuk vizuálisan szemléltetni, ahogy Cantor tette a valós számokkal. Egyszerűen azért, mert a természetes számok nem lehetnek végtelen számjegyűek. És így a természetes számok számjegyeit nem tudjuk végtelennél is több módon kombinálni egymással. Ez a bizonyítás tehát ilyen értelmezésben nem valós matematikai összefüggésekre épít, hanem a valós számok formai sajátosságaira. Azt valóban bizonyítja, hogy van a végtelennél nagyobb végtelen, de ha csak ennyit bizonyít, akkor azt nem bizonyítja, hogy a valós számok nagyobb számosságúak a természetes számoknál.

 

 

 


Ez csak esetleg akkor vehetjük bizonyítottnak, ha a következő megállapítást teszük: míg a természetes számok esetében a végtelennél nagyobb végtelen valóban csak nagyobb lehet az eddig felsorolt természetes számoknál. (Hiszen, ha meghatározott mennyiségű természetes számot hiánytalanul felsorolunk, akkor egy új természetes szám csak nagyobb lehet a már felsoroltaknál.) Addig a valós számok esetében a Cantor módszerével létrehozott új valós szám lehet nagyobb, de lehet kisebb is az eddig felsorolt valós számoknál, és így a valós számok nem felsorolhatóak, vagyis nem lehetnek ekvivalensek a természetes számokkal. Egy indiai matematikus Ranganathan megfogalmazásával a valós számok folytonosan, kontinuusan nyúlnak végig a számvonalon, elválaszthatatlanul összefolyva egymással. Vagy más szóval: nem létezik két olyan – egymáshoz mégoly közel álló – valós szám, amely között ne volna meghatározható további végtelen számú valós szám. Így valóban nem lehet felsorolni a valós számokat, és nem lehetnek ekvivalensek a természetes számokkal. És Cantor valóban a valós számok megszámlálhatatlanságát használja érvként a valós számoknak a természetes számoktól eltérő számoságának bizonyítására, vagyis, hogy nem lehetnek ekvivalensek egymással.

 

 

 


Azonban én így sem vagyok biztos abban, hogy ez a gondolatmenet bizonyítja, hogy a valós számok nagyobb számosságúak, mint a természetes számok. A cikk elején bebizonyítottuk, hogy egy végtelen számosságú halmaz egyenlő lehet saját részhalmazával. Vagyis a végtelen számosságú halmazokra jellemző valami, ami a véges halmazokra nem. Ha pedig tudjuk, hogy a végtelen halmazokra jellemző lehet olyan, ami a véges halmazokra nem jellemző. Akkor mi bizonyítja azt, hogy az a tulajdonság például, amely a véges halmazokra bizonyítottan jellemző, vagyis hogy ha két halmaz nem ekvivalens egymással, akkor különböző számosságú az a végtelen halmazokra is jellemző? A valós számok egymás felé, egymással egybefolyva végtelenek és nagyobbak önmaguknál, vagyis a végtelennél, a természetes számok pedig egymásra épülve végtelenek, és nagyobbak önmaguknál, vagyis a végtelennél. De ettől még számuk nem tér el egymástól. Csak, ha egymás mellé állítjuk őket, akkor nem tudjuk megfeleltetni egymásnak őket, mert a valós számok mivel egymással összefolyva végtelenek, és nagyobbak a végtelennél, minden valós számnál vételen sok kisebb és nagyobb valós szám létezik. Ellentétben a természetes számokkal, amelyek egymásra épülnek, és minden természetes számnál csupán végtelen sok nagyobb természetes szám létezik. Cantor bizonyítása tényleg bizonyítja azt, hogy van a végtelennél nagyobb végtelen, de azt nem, hogy a valós számok ténylegesen nagyobb számosságúak a természetes számoknál. Ezt csak azért írtam le, hogy érzékeltessem, hogy a végtelen a természetes számok esetében is nagyobb önmagánál. Tehát ez csak az én értelmezésem, de arra utal, hogy a kontinuum-számosság elmélet helyessége is vitatható, de most vegyük úgy, hogy igaz.

 


A kontinuum-hipotézis Cantor kontinuum-számosság elméletére alapozva azt mondja, hogy nincs létező számosság a valós számok megszámlálhatatlanul, és a természetes számok megszámlálhatóan végtelen számossága között. A kérdés az, hogy a végtelenül kicsi számokat nem lehet e kapcsolatba hozni a kontinuum-hipotézissel. Lehet, hogy a végtelenül kicsi számok azok, amelyek számossága a valós, és a természetes számok számossága közé esik? Mint mondtam a végtelenül kicsi számok olyan valós számok, amelyeknél a tizedesvessző utáni számsoron a 0 feletti számok csak a végtelentől a számsor közepéig tartana, utána pedig 0 vannak 0,0-ig, és a számsor közepétől számítva mindkét irányba szintén végtelen a számsor. Ezeket Cantor bizonyítását követve így lehetne hozzárendelni az igazi valós számokhoz:

 

0, A1 A1 A1 A1… A1 A2 A3 A4 … → 0, A1 A2 A3 A4 …
0, B1 B1 B1 B1… B1 B2 B3 B4 … → 0, B1 B2 B3 B4 …
0, C1 C1 C1 C1… C1 C2 C3 C4 … → 0, C1 C2 C3 C4 …

 

Cantor bizonyítása alapján könnyen belátható, hogy a két számhalmaz nem ekvivalens egymással. Van még egy feltétele is annak, hogy a számhalmaz számossága a valós és a természetes számok közé essen. A számhalmaznak tartalmaznia kell a természetes számokat. Könnyen belátható az első paradoxon levezetéséből, hogy ha a végtelenül kicsi szám 0 értéket is felvehet, akkor ennek a feltételnek is megfelel. Ezzel tehát megcáfoltuk a kontinuum-hipotézist, létezik számosság a természetes, és a valós számok között. A tér és a pont viszonyában tehát az a kérdés, hogy a teret megszámlálhatatlanul végtelenül kicsi pontok építik e fel. Ha nem, akkor a teret nem építhetik fel pontok, mert azoknak nem lehet kiterjedésük, és akkor az egész modern matematika alól kicsúszik a talaj, ha igen, akkor a kontinuum-hipotézis meg van cáfolva.

 

Felhasznált Irodalom:

 

Egyetemes Guiness Enciklopédia. Pannon Könyvkiadó, 1992.

 

http://hu.wikipedia.org/wiki/Hilber t_Grand_Hotel-paradoxonja

 

http://mek.oszk.hu/01600/01683/pdf/01 683-1.pdf

 

http://www.math.u-szeged.hu/~hajnal/courses/halmaz99/hipotezis.htm

 

http://hps.elte.hu/tdk/dogak/bognarg_doga.pdf

 

http://tárogatóhangján.hu/plugins/forum/forum_viewtopic.php?454 Az avantgard és a végtelenedik dimenzió című cikk fórumhozzászólásai.

 

Hozzászólások

Hozzászólás megtekintése

Hozzászólások megtekintése

végtelenül kicsi

(........, 2014.06.04 18:09)

Ha végtelensok végtelenül kicsi pontot egymás mellé raksz, akkor kapsz egy végtelenül kicsi pontot. Ha végtelen ilyen "giga" végtelenül kicsi pontot raksz egymás mellé, akkor is egy végtelenül kicsi pontot kapnál, s a pontok számát végtelen tényezővel a végtelenségig iterálod és ezeket egymás mellé rakod, akkor is egy ilyen pontot kapsz. No ezzel ugyanezt megismételheted végtelenszer, majd azt is, de mindig ugyanaz a végtelenül kicsi pont lesz előtted....Ha a harmadik dimenzióhoz képest ilyen a nulldimenzió, akkor a hatodik dimenzióhoz képest ilyen a harmadik....a mi végtelennek titulált uni/multiverzumunk csak egy ilyen végtelenül kicsi pont lehet a hatodik dimenzióban.....elképzelhetetlenül végtelen a mindenség...

végtelenül kicsi

(........, 2014.06.04 18:08)

Ha végtelensok végtelenül kicsi pontot egymás mellé raksz, akkor kapsz egy végtelenül kicsi pontot. Ha végtelen ilyen "giga" végtelenül kicsi pontot raksz egymás mellé, akkor is egy végtelenül kicsi pontot kapnál, s a pontok számát végtelen tényezővel a végtelenségig iterálod és ezeket egymás mellé rakod, akkor is egy ilyen pontot kapsz. No ezzel ugyanezt megismételheted végtelenszer, majd azt is, de mindig ugyanaz a végtelenül kicsi pont lesz előtted....Ha a harmadik dimenzióhoz képest ilyen a nulldimenzió, akkor a hatodik dimenzióhoz képest ilyen a harmadik....a mi végtelennek titulált uni/multiverzumunk csak egy ilyen végtelenül kicsi pont lehet a hatodik dimenzióban.....elképzelhetetlenül végtelen a mindenség...