Ugrás a tartalomhoz Lépj a menübe
 


Végtelen a végtelenen túl

2008.10.16

Ebben az írásomban azt próbálom bebizonyítani, hogy a végtelen úgynevezett öngeneráló matematikai objektum. A végtelen megléte újabb végtelent feltételez, ami megint újabb végtelent és így tovább. A halmazelmélet tudományának mai állása szerint két halmaz elemeinek száma egyenlő, ha elemeiket egyértelműen meg tudjuk feleltetni egymásnak. Ez a halmazelmélet szerint igaz mind a véges, mind pedig a végtelen halmazokra. Csak azt kell bizonyítani, hogy ha két végtelen halmaz elemeit egymáshoz rendeljük az egy-egy egyértelmű leképezés. Így például könnyen bebizonyítható, hogy az a leképezés, amelynek során a természetes számokat kétszeresükhöz (vagy éppen minden természetes számot a feléhez) rendelünk, egy-egy egyértelmű leképezés.

1 → 2
2 → 4
3 → 6
4 → 8
5 → 10
6 → 12
7 → 14
8 → 16

És így tovább. Eszerint tehát éppen annyi páros szám van, mint amennyi természetes szám. Vagyis a természetes számok halmaza egyenlő számosságú egyik részhalmazával. Ugyanezzel a módszerrel könnyen bebizonyítható az is, hogy a természetes számok halmaza egyenlő számosságú a racionális számok halmazával. Kiszámítható, hogy melyik természetes számnak melyik racionális szám felel meg.

2 → 1/1
3 → 1/2
4 → 2/1
5 → 1/3
6 → 3/1
7 → 1/4
8 → 2/3
9 → 3/2
10 → 4/1

És így tovább. Cantor bizonyította be a matematikatudomány mai állása szerint, hogy a valós számok nagyobb számosságúak mint a természetes számok. Ezt a következő gondalatmenettel tette meg: „Vegyük a 0 és 1 közötti valós számokat, tizedesjegyekkel kifejezve (például: 0,47 936 421…) úgy, hogy a tizedesvessző után minden számnak végtelen sok számjegye van. Ha vége van a tizedesjegyeknek, akkor nullákkal folytatjuk. Tegyük fel, hogy a valós számokat sorba lehet állítani, és így kölcsönösen egyértelműen meg lehet feleltetni a természetes számokkal. Ekkor tehát minden valós számot ebben a formában lehetne leírni.

0, A1 A2 A3 A4 …
0, B1 B2 B3 B4 …
0, C1 C2 C3 C4 …

Most próbáljunk meg új számot létrehozni Az első számjegy más lesz, mint A1, a második számjegy más lesz, mint B2, a harmadik számjegy más lesz, mint C3 és így tovább. Így egy új, 0 és 1 közötti valós számhoz jutottunk, de oly módon, hogy az különbözik a teljesnek feltételezett valós számok listájának minden egyes tagjától. Tehát ellentmondáshoz jutottunk. Mindebből az következik, hogy lehetetlen felsorolni a valós számokat. Ebből a gondolatmenetből Cantor bizonyítottnak látta, hogy a valós számok nagyobb számosságúak a természetes számoknál. Ez valóban bizonyítja, hogy van a végtelennél nagyobb végtelen, de vajon bizonyítja e azt is, hogy a valós számok nagyobb számosságúak, mint a természetes számok? Egy másik matematikus David Hilbert ugyanis a természetes számokra is bebizonyította, hogy nagyobbak önmaguknál, vagyis a végtelennél. Mégpediga a következő képpen:

„Egy valódi hotelben (amelynek véges sok szobája van) ha minden szobát kiadnak, akkor nem tudnak több vendéget elhelyezni, ebben nincs semmi meglepő. De képzeljünk el egy olyan szállodát, amelynek végtelen sok szobája van, azaz a szobaszámok 1-től kezdve folyamatosan növekednek, és nincs olyan szoba, amelynél ne lenne nagyobb számú. A szállodának van egy hangosbemondórendszere is, amelyen keresztül a portás az összes szobavendégnek tud üzenni egyszerre. Tegyük fel, hogy egy ilyen hotelben az összes szoba megtelt, olyan sok vendég van. A kérdés, hogy ha jön még egy vendég, el kell-e küldeni. A meglepő válasz az, hogy nem. Az új vendég elhelyezéséhez a portásnak csak annyit kell tennie, hogy bemondja: minden vendég költözzön át az eggyel nagyobb számú szobába. Az a vendég, aki eddig az 1-es szobában lakott, átköltözik a 2-esbe, amelynek eddigi lakója a 3-asba megy át, és így tovább. Így az 1-es szoba felszabadul, és az új vendég beköltözhet.”

Tehát ha ez a gondolatmenet csak azt bizonyítja, hogy a valós számok számossága nagyobb önmagánál, vagyis a végtelennél, akkor nem bizonyítja, hogy a valós számok nagyobb számosságúak a természetes számoknál. Ha még egyszer megnézzük Cantor bizonyítását láthatjuk, hogy ő a valós számoknak azt a tulajdonságát használta fel ennél a bizonyításnál, hogy a valós számoknak végtelen sok számjegyük van. Ennél fogva pedig persze, hogy tudunk végtelennél is több valós számot kreálni, hiszen végtelen sok számjegyet végtelennél is több módon tudunk kombinálni egymással. Pedig Hilbert gondolatmenetét olvasva nyilván a természetes számok esetében is van végtelennél nagyobb természetes szám, csak azt nem tudjuk vizuálisan szemléltetni, ahogy Cantor tette a valós számokkal. Egyszerűen azért, mert a természetes számok nem lehetnek végtelen számjegyűek. És így a természetes számok számjegyeit nem tudjuk végtelennél is több módon kombinálni egymással. Ez a bizonyítás tehát ilyen értelmezésben nem valós matematikai összefüggésekre épít, hanem a valós számok formai sajátosságaira. Azt valóban bizonyítja, hogy van a végtelennél nagyobb végtelen, de ha csak ennyit bizonyít, akkor azt nem bizonyítja, hogy a valós számok nagyobb számosságúak a természetes számoknál.

Ez csak esetleg akkor vehetjük bizonyítottnak, ha a következő megállapítást teszük: míg a természetes számok esetében a végtelennél nagyobb végtelen valóban csak nagyobb lehet az eddig felsorolt természetes számoknál. (Hiszen, ha meghatározott mennyiségű természetes számot hiánytalanul felsorolunk, akkor egy új természetes szám csak nagyobb lehet a már felsoroltaknál.) Addig a valós számok esetében a Cantor módszerével létrehozott új valós szám lehet nagyobb, de lehet kisebb is az eddig felsorolt valós számoknál, és így a valós számok nem felsorolhatóak, vagyis nem lehetnek ekvivalensek a természetes számokkal. Egy indiai matematikus Ranganathan megfogalmazásával a valós számok folytonosan, kontinuusan nyúlnak végig a számvonalon, elválaszthatatlanul összefolyva egymással. Vagy más szóval: nem létezik két olyan – egymáshoz mégoly közel álló – valós szám, amely között ne volna meghatározható további végtelen számú valós szám. Így valóban nem lehet felsorolni a valós számokat, és nem lehetnek ekvivalensek a természetes számokkal. És Cantor valóban a valós számok megszámlálhatatlanságát használja érvként a valós számoknak a természetes számoktól eltérő számoságának bizonyítására, vagyis, hogy nem lehetnek ekvivalensek egymással.

Azonban én így sem vagyok biztos abban, hogy ez a gondolatmenet bizonyítja, hogy a valós számok nagyobb számosságúak, mint a természetes számok. A cikk elején bebizonyítottuk, hogy egy végtelen számosságú halmaz egyenlő lehet saját részhalmazával. Vagyis a végtelen számosságú halmazokra jellemző valami, ami a véges halmazokra nem. Ha pedig tudjuk, hogy a végtelen halmazokra jellemző lehet olyan, ami a véges halmazokra nem jellemző. Akkor mi bizonyítja azt, hogy az a tulajdonság például, amely a véges halmazokra bizonyítottan jellemző, vagyis hogy ha két halmaz nem ekvivalens egymással akkor különböző számosságú az a végtelen halmazokra is jellemző? A valós számok egymás felé, egymással egybefolyva végtelenek és nagyobbak önmaguknál, vagyis a végtelennél, a természetes számok pedig egymásra épülve végtelenek, és nagyobbak önmaguknál vagyis a végtelennél. De ettől még számuk nem tér el egymástól. Csak, ha egymás mellé állítjuk őket, akkor nem tudjuk megfeleltetni egymásnak őket, mert a valós számok mivel egymással összefolyva végtelenek, és nagyobbak a végtelennél, minden valós számnál vételen sok kisebb és nagyobb valós szám létezik. Ellentétben a természetes számokkal, amelyek egymásra épülnek, és minden természetes számnál csupán végtelen sok nagyobb természetes szám létezik. Cantor bizonyítása tényleg bizonyítja azt, hogy van a végtelennél nagyobb végtelen, de azt nem, hogy a valós számok ténylegesen nagyobb számosságúak a természetes számoknál. Ezt csak azért írtam le, hogy érzékeltessem, hogy a végtelen a természetes számok esetében is nagyobb önmagánál.

Mint mondtam a végtelen egy önmagát generáló matematikai objektum. Ahogy a valós számok végtelen sok számjegye végtelennél is több módon kombinálható egymással, sőt végtelenszer végtelen módon, vagy végtelenszer végtelenszer végtelen módon, és így tovább. Úgy a természetes számok végtelen volta is újabb végtelen létét feltételezi, sőt végtelenszer végtelen meglétét, és így tovább. Hogyan lehet ezt bebizonyítani? Véleményem szerint a racionális számok és a természetes számok összehasonlításával.

Mint tudjuk a racionális számok a két szám hányadosaként felírható tört számokat jelentik. Tehát egész számok felosztásával kapjuk őket. És egy egész számot bármeddig darabolhatunk egyre kisebb törtszámokra, sohasem érjük el a nullát. Ez azt jelenti, hogy nincs 0-nál nagyobb legkisebb racionális szám, mint ahogy 1-nél, vagy 2-nél nagyobb legkisebb racionális szám sincs. Ellentétben a természetes számokkal ahol a 0-nál nagyobb legkisebb természetes szám értelemszerűen az 1 az 1-nél nagyobb legkisebb természetes szám értelemszerűen a 2. Ami pedig oda vezet, hogy a racionális számokat nem tudjuk úgy felsorolni, mint a természetes számokat, vagyis a legkisebbtől a legnagyobbig, azaz 0-tól a végtelenig. A racionális számokat csak úgy tudjuk felsorolni, hogy veszünk egy egész számot, és azt felosztjuk egyre kisebb értékekre egészen a végtelenségig. Ennek következtében a racionális számok feloszthatóak egymással és a természetes számokkal is ekvivalens végtelen nagyságú részhalmazokra, amelyek nem mások, mint az egymástól kettővel eltérő természetes számok közötti racionális számok. Valahogy így:

1/1, 2/2, 1/2, 3/3, 2/3, 1/3, 4/4, 3/4, 2/4, 1/4 … 1/∞
2/1, 4/2, 3/2, 6/3, 5/3, 4/3, 8/4, 7/4, 6/4, 5/4 … 1+(1/∞)
3/1, 6/2, 5/2, 9/3, 8/3, 7/3, 12/4, 11/4, 10/4, 9/4 … 2+(1/∞)

És így tovább. És azonnal észrevehetjük, hogy ezeknek a végtelen részhalmazoknak a végtelenedik eleme mindig egy egyel kisebb egész szám lesz annál az egész számnál, mint amivel kezdtük a felsorolást. 1/∞ = 0, 1+(1/∞) = 1, 2+(2/∞) = 2. És így tovább. Ez pedig azt jelenti, hogy ha a racionális számokat felsoroljuk, akkor végpontjuk nem a végtelenedik racionális szám lesz, ellentétben a természetes számokkal, amelynek végpontja csakis a végtelenedik természetes szám lehet, hanem az összes létező természetes szám 0-tól végtelenig. És ha emlékeznek rá a cikk elején bebizonyítottuk, hogy a természetes számok és a racionális számok halmaza ekvivalens egymással. Ami pedig oda vezet, hogy a természetes számok halmazának végtelenedik eleme egyszerre ekvivalens az összes létező természetes számmal, hiszen a természetes számok végpontja a végtelenedik természetes szám a racionális számok végpontja az összes természetes szám, és ha két halmaz elemei ekvivalensek egymással, akkor végpontjaiknak is ekvivalensnek kell lenniük egymással.

Ez pedig önmagában is paradoxon, hiszen egy szám csak egy másik számmal lehet ekvivalens. Csak az oldhatja fel ezt a paradoxont, ha a természetes számok halmazának végtelenedik eleme szintén végtelen sok számból áll. És ha a természetes számok, amelyekről bebizonyítottuk, hogy ekvivalens a természetes számok végpontjával, végpontja végtelen sok számból áll, akkor a természetes számok végpontjának kétszer végtelen elemből kell állnia, hiszen egyrészt ekvivalensnek kell lennie a végtelen sok természetes számmal és annak végtelen számú végpontjával. És így tovább. Tehát ezzel bebizonyítottuk, hogy a természetes számok számossága is nagyobb önmagánál, vagyis a végtelennél, és öngeneráló matematikai objektum.

Felhasznált Irodalom:

1, Egyetemes Guiness Enciklopédia. Pannon Könyvkiadó, 1992.

2, http://hu.wikipedia.org/wiki/Hilber t_Grand_Hotel-paradoxonja

3, http://mek.oszk.hu/01600/01683/pdf/01 683-1.pdf

 

Hozzászólások

Hozzászólás megtekintése

Hozzászólások megtekintése

Illinois

(Kate, 2008.12.09 13:25)

Haromszor olvastam el!Nagyon elgondolkodtato,mivel
mikor meg kellet tanulnom az Amerikai Lb.Tsp.ect.
valami hasonlo modon tudtam megjegyezni a Kg.dkg.
atszamittasat.Remenykedem,erthetoen fejezem ki magam.
Az biztos,hogy van benne valami!!